На классной доске записана следующая задача:

(102 + 112 + 122 + 132 + 142)/365

Решите её устно вместе с героями картины!

Старинная русская задача-головоломка:

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная  в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3  раза». Как разделить орехи?

Ответ

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3 x 4 = 12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части.  Поэтому меньшая часть должна содержать 130 : 13 = 10 орехов, а большая 130 — 10 = 120 орехов.

2. Васе, Пете, Семену и их женам Наташе, Ире, Анне в сумме 151 лет. Каждый муж старше своей жены на 5 лет. Василий на 1 год старше Ирины. Наталье и Василию в сумме 48 лет, Семену и Наталье в сумме 52 года. Кто на ком женат и сколько кому лет? (возраст должен быть выражен в целых числах).

3. В кармане лежит две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответы

1. В банке находился кусочек льда, который растаял.

2. Василий (26) – Анна (21); Петр (27) – Наталия (22); Семен (30) – Ирина (25).

3. 10 коп. и 5 коп., потому что в условии сказано, что только одна монета не пятак. Задание основано на психологичной особенности человека, запоминать основные факты из условия задачи. В этом случае, что монета не пятак.

1.

2. Волчонок, маpтышка и бегемотик подошли к каpусели, на котоpой кpужились машинка и самолетик. Каждый из дpузей хотел пpокатиться и на том, и на дpугом. Машинка и самолетик вмещали только по одному пассажиpу. За тpи захода каждый из дpузей по pазу пpокатился на машинке и на самолетике. В пеpвый заход маpтышка пpокатилась на самолетике, а волчонок — на машинке. Во вpемя втоpого захода на самолетике катался волчонок.
Кто и на чем катался по вpемя тpетьего захода?

3. Во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть гиппопотамы. Hаконец, во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и жирафы, есть и носороги. Может ли существовать такой зоопарк, в котором есть гиппопотамы, но нет ни жирафов, ни носорогов?

Ответы

1. Конечно же 96.

2.  Во время второго на машинке катался бегемотик, а во время третьего бегемотик пересел на самолётик, мартышка села на машинку, а волчонок отдыхал.

3. Да.

1.

2. Задачка с неожиданным решением    Мама старше сына на 21 год. Через 6 лет мама будет старше сына в 5 раз. Где папа?

3. Улитка ползла по стволу дерева высотой в 30 метров. За день она может подняться вверх на 3м., но за ночь соскальзывает вниз на 2м. Сколько времени ей понадобится, чтобы добраться до вершины?

Ответы

1. (99 — 9) : 9 + ( 99 — 9) = 100

2. На маме (если X — возраст сына а Y — возраст мамы, то решая систему уравнений Х+21= Y и Y+6=5(X+6), получим: X=-3/4 года = −9 месяцев).

3.  28 дней понадобится улитке, чтобы добраться до вершины.

                                                                      I

Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.
Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
— Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
— Чего желал бы ты от меня, Теренций? — спросил император.
— Выслушай со снисхождением, государь! За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь…
— Продолжай, храбрый Теренций.
— Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему,— продолжал ободренный полководец,— то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.
Император — гласит предание — не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.
— Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? — спросил он.
— Миллион динариев, государь.
Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.
Наконец император заговорил:
— Доблестный Теренций, ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды! Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.
Теренций поклонился и вышел.

                                                                       II

На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.
— Привет тебе, храбрый Теренций! — сказал император. Теренций смиренно наклонил голову.
— Я пришел, государь, чтобы выслушать твое решение. Ты милостиво обещал вознаградить меня.
Император ответил:
— Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов[2]. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса; в четвертый — стоящую 8 брассов, в пятый— 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И, пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И, когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету, остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
Жадно впивал Теренций каждое слово императора. Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.
— Я доволен твоей милостью, государь! — ответил он с радостной улыбкой.— Поистине щедра награда твоя!

                                                                     III

Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора. И первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.
В первый день вынес он из казначейства всего 1 брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом.
Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.
Седьмая монета весила на наши современные меры 320 г и имела в поперечнике 8 1/2 см (точнее — 84 мм)[4].
На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириной около 10 1/2 см.
На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более 1 1/4 кг.
На 12-й день монета достигла почти 27 см в поперечнике ил весила 10 1/4 кг.
Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток,
13-й день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 см в ширину, а вес ее равнялся 20 1/2 кг.
На 14-й день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету — в 41 кг весом и около 42 см шириной.
— Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? — спросил его император, сдерживая улыбку.
— Нет, государь мой,— хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.
Наступил 15-й день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16 384 единичных монет. Она достигав/а 53 см в ширину и весила 80 кг — вес рослого воина.
На 16-й день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32 768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник ее достигал 67 см.
Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…
Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Он не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг. Она соответствовала весу 65 536 единичных монет.
18-й день был последним днем обогащения Теренция. В этот день кончились его посещения казначейства и странствования с ношей в залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.
Теренций был совершенно измучен.
— Не могу больше… Довольно,— прошептал он.
Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу.
Казначей исполнил поручение и сказал:
— Государь, благодаря твоей щедрости, победоносный воитель Теренций получил в награду 262 143 брасса.
Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил у него Теренций.

                                                                     * * *

Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:

В      1-й день    1 брасс           весом                5 г

на    2-й «           2 брасса             «                    10 «

«      3-й «           4 «                        «                     20 «

«      4-й «           8 брассов            «                     40 «

«      5-й «           16 «                       «                    80 «

«      6-й «            32 брасса            «                    160 «

«      7-й «            64 «                      «                     320 «

«      8-й «           128 брассов         «                     640 «

«      9-й «            256 «                     «                    1 кг 280 «

«     10-й «           512 «                     «                     2 « 560 «

«      11-й «          1024 брасса         «                     5 « 120 «

«      12-й «           2 048 брассов      «                   10 « 240 «

«      13-й «            4 096 «                  «                   20 « 480 «

«      14-й «            8 192 брасса        «                   40 « 960 «

«      15-й «            16 384 «                 «                   81 « 920 «

«      16-й «             32 768 брассов     «                 163 « 840 «

«      17-й «              65 536 «                 «                 327 « 680 «

«      18-й «              131072 брасса       «                 655 « 360 «

Объясню вам, как можно просто подсчитать сумму чисел таких рядов: для второго столбца она равна 262 143,— согласно существующему правилу. Теренций просил у императора миллион динариев, то есть 5 миллионов брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в 5 000 000:262 143 = 19 раз.

Ответ

Расширить площадь пруда вдвое, сохраняя его квадратную форму и не трогая дубов, вполне возможно. Здесь на чертеже показано, как это сделать: надо копать так, чтобы дубы оказались возле середины каждой стороны нового квадрата . Чтобы убедиться что новый плуг в два раза больше прежнего, достаточно лишь провести диагонали в прежнем пруде и сосчитать образующиеся при этом треугольники.